Неопределенный интеграл, одна из фундаментальных концепций математического анализа, обратная операции дифференцированию. Данное пособие предназначено для студентов, школьников и всех, кто хочет систематизировать знания по интегральному исчислению. Здесь собраны основные определения, таблица базовых интегралов, подробное описание методов интегрирования и типовые примеры их применения.

Основные определения и свойства

Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X, если для любого x ∈ X выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается:

∫ f(x) dx = F(x) + C

где:

• f(x) — подынтегральная функция;
• dx — дифференциал независимой переменной;
• F(x) — одна из первообразных;
• C — произвольная постоянная (постоянная интегрирования).

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная от интеграла: d(∫ f(x) dx) = f(x) dx или (∫ f(x) dx)’ = f(x).
2. Интеграл от производной: ∫ F'(x) dx = F(x) + C.
3. Линейность интеграла:
   • ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx (интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов);
   • ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла), k = const.

Таблица основных неопределенных интегралов

Знание этой таблицы является необходимым условием для успешного интегрирования. Все методы в конечном счете сводят задачу к одному из этих базовых видов.

Основные методы интегрирования

Большинство интегралов не находятся в таблице напрямую. Для их вычисления используются методы преобразования подынтегрального выражения к табличному виду.

Метод непосредственного интегрирования (Приведение к табличному виду)

Суть метода: с помощью алгебраических и тригонометрических тождеств подынтегральную функцию преобразуют к сумме элементарных функций, интегралы которых известны.

Пример 1:

Вычислить ∫ (3x² ⸺ 5/x + 2e^x) dx.

Решение: Используем линейность и таблицу:

∫ (3x² ⸺ 5/x + 2eˣ) dx = 3∫ x² dx ― 5∫ dx/x + 2∫ eˣ dx =
= 3·(x³/3) ⸺ 5·ln|x| + 2·eˣ + C =
= x³ ⸺ 5 ln|x| + 2eˣ + C

Пример 2 (Тригонометрическое тождество):

Вычислить ∫ sin²x dx.

Решение: Используем формулу понижения степени: sin²x = (1 ― cos 2x)/2.

∫ sin²x dx = ∫ (1 ― cos 2x)/2 dx = ½ ∫ dx ⸺ ½ ∫ cos 2x dx =
= ½ x ― ½ · (sin 2x / 2) + C = x/2 ― (sin 2x)/4 + C

Метод замены переменной (Подстановка)

Один из самых мощных и универсальных методов. Основан на правиле дифференцирования сложной функции.

Формула: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(t) dt, где t = g(x), dt = g'(x) dx.

Часто используют запись: ∫ f(x) dx = ∫ f(φ(t))·φ'(t) dt (прямая подстановка x = φ(t)).

Пример 3:

Вычислить ∫ x·√(x² + 1) dx.

Решение: Под выражением под корнем стоит функция, производная которой (с точностью до константы) стоит снаружи.

• Положим t = x² + 1.
• Тогда dt = 2x dx ⇒ x dx = dt/2.

∫ x·√(x² + 1) dx = ∫ √t · (dt/2) = ½ ∫ t^(1/2) dt =
= ½ · (t^(3/2) / (3/2)) + C = ⅓ t^(3/2) + C =
= ⅓ (x² + 1)^(3/2) + C

Пример 4 (Подстановка под дифференциал):

Вычислить ∫ e^2x+1 dx.

∫ e^(2x+1) dx = ½ ∫ e^(2x+1) d(2x+1) = ½ e^(2x+1) + C

Интегрирование по частям

Метод основан на правиле дифференцирования произведения двух функций. Используется, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение двух функций разного типа (полином и экспонента, полином и тригонометрия, логарифм и полином).

Формула: ∫ u dv = uv ― ∫ v du.

Правило выбора u (ILATE):

1. I — Inverse trigonometric (Арктригонометрические: arcsin, arctg…)
2. L — Logarithmic (Логарифмические: ln x)
3. A — Algebraic (Алгебраические: xⁿ)
4. T — Trigonometric (Тригонометрические: sin x, cos x)
5. E — Exponential (Показательные: eˣ, aˣ)

Функцию u выбирают из категории, которая стоит выше в списке, а dv — из нижней.

Пример 5:

Вычислить ∫ x·e^x dx.

Решение: u = x (Алгебраическая), dv = eˣ dx (Показательная).

• du = dx
• v = eˣ

∫ x·eˣ dx = x·eˣ ― ∫ eˣ dx = x·eˣ ― eˣ + C = eˣ(x ⸺ 1) + C

Пример 6 (Многократное интегрирование по частям):

Вычислить ∫ x²·cos x dx.

u = x², dv = cos x dx → du = 2x dx, v = sin x
∫ x² cos x dx = x² sin x ⸺ ∫ 2x sin x dx

Для ∫ 2x sin x dx: u = 2x, dv = sin x dx → du = 2 dx, v = -cos x
∫ 2x sin x dx = -2x cos x ⸺ ∫ (-2 cos x) dx = -2x cos x + 2 sin x

Интегрирование рациональных дробей

Рациональная дробь: R(x) = Pₘ(x) / Qₙ(x), где Pₘ, Qₙ, полиномы.

Алгоритм:

1. Если m ≥ n (неправильная дробь), делим числитель на знаменатель до получения правильной дроби (степень числителя < степени знаменателя). Получаем целую часть + правильную дробь.
2. Факторизуем знаменатель Qₙ(x) на линейные и квадратичные множители над полем вещественных чисел.
3. Дробь разлагаем на простейшие дроби (метод неопределенных коэффициентов).
4. Интегрируем каждую простейшую дробь по формулам:
   • ∫ A/(x ⸺ a) dx = A ln|x ⸺ a| + C
   • ∫ A/(x ― a)^k dx = A·(x ⸺ a)^1-k/(1-k) + C (k > 1)
   • ∫ (Mx + N)/(x² + px + q) dx — дополняют квадрат в знаменателе и приводят к табличным интегралам (ln и arctg).

Пример 7:

Вычислить ∫ (3x + 5) / (x² + 3x + 2) dx.

Решение:

1. Знаменатель: x² + 3x + 2 = (x+1)(x+2).
2. Делим на простейшие: (3x+5)/((x+1)(x+2)) = A/(x+1) + B/(x+2).
3. 3x+5 = A(x+2) + B(x+1) = (A+B)x + (2A+B).
4. Система: A+B=3, 2A+B=5 ⇒ A=2, B=1.
5. Интеграл: ∫ (2/(x+1) + 1/(x+2)) dx = 2 ln|x+1| + ln|x+2| + C.

Интегрирование тригонометрических функций

Основные случаи интегралов вида ∫ sin^mx cosⁿx dx:

• m, нечетное: Выделяем sin x dx = -d(cos x), остальные синусы заменяем через sin²x = 1 ⸺ cos²x. Подстановка t = cos x.
• n — нечетное: Выделяем cos x dx = d(sin x), косинусы заменяем через cos²x = 1 ― sin²x. Подстановка t = sin x.
• m, n — четные: Используют формулы понижения степеней: sin²x = (1-cos2x)/2, cos²x = (1+cos2x)/2.
• m, n — отрицательные (тангенс/котангенс): Делят числитель и знаменатель на cos²x (или sin²x), переходят к tg x и dtg x = dx/cos²x.

Универсальная подстановка Эйлера (t = tg(x/2)):

Позволяет свести ЛЮБОЙ рациональный интеграл от sin x и cos x к интегралу от рациональной дроби.

sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1-t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).

Интегрирование иррациональных функций

Иррациональные функции содержат корни из рациональных выражений. Основные подстановки для устранения иррациональности:

Корень n-й степени от рациональной функции: R(x, ⁿ√(P(x)/Q(x)))

Подстановка: tⁿ = P(x)/Q(x) (или t = ⁿ√(P(x)/Q(x))).

Корни вида ⁿ√(ax+b) и ᵐ√(cx+d)

Подстановка: t = ⁿᵐ√((ax+b)/(cx+d)) (НОК показателей корней).

Интегралы вида ∫ R(x, √(ax²+bx+c)) dx (Корень из квадратного трехчлена)

Сводят к одному из трех видов (метод Эйлера):

1. a > 0: √(ax²+bx+c) = t ― √a·x (подстановка Эйлера 1-го рода).
2. c > 0: √(ax²+bx+c) = xt + √c (подстановка Эйлера 2-го рода).
3. Квадратный трехчлен имеет вещественные корни α, β: √(a(x-α)(x-β)) = t(x-α) (подстановка Эйлера 3-го рода).

Тригонометрические/гиперболические подстановки (после приведения к виду √(±x²±a²)):

• √(a² ― x²) → x = a sin t (или a cos t)
• √(x² + a²) → x = a tg t (или a sh t)
• √(x² ⸺ a²) → x = a / cos t (или a ch t)

Пример 8:

Вычислить ∫ dx / √(1 ― x²).

Решение: Подстановка x = sin t, dx = cos t dt, √(1 ⸺ sin²t) = cos t (на интервале, где cos t ≥ 0).

∫ dx/√(1-x²) = ∫ cos t dt / cos t = ∫ dt = t + C = arcsin x + C

Стратегия решения интеграла (Алгоритм действий)

При встрече с новым интегралом рекомендуется действовать по следующему плану:

1. Упростить выражение: Раскрыть скобки, выполнить деление дробей, использовать тригонометрические тождества.
2. Проверить таблицу: Не является ли интеграл (или его часть) табличным?
3. Попробовать подстановку (Замена переменной): Искать под интегралом функцию и её производную (или составную функцию и производную внутренней).
4. Интегрирование по частям: Если подынтегральное выражение — произведение функций разных типов (полином × тригонометрия/экспонента/логарифм).
5. Рациональные дроби: Если подынтегральная функция — рациональная дробь.
6. Иррациональные выражения: Подстановки для устранения корней (Эйлер, тригонометрические).
7. Тригонометрические: Правила для степеней синуса/косинуса, подстановка t = tg(x/2).
8. Вернуть ответ в исходную переменную и не забыть добавить + C.
9. Проверить результат: Продифференцировать полученную первообразную. Производная должна совпасть с подынтегральной функцией.

Типичные ошибки и советы

• Потеря постоянной C: Всегда пишите + C в конечном ответе неопределенного интеграла.
• Ошибки в знаках при интегрировании по частях: Внимательно следите за минусом в формуле uv ― ∫ v du.
• Неправильный выбор u и dv: Следуйте правилу ILATE. Если интеграл стал сложнее — поменяйте выбор местами.
• Забывание возврата к старой переменной: После подстановки t = g(x) ответ должен быть выражен через x.
• Модуль в логарифме: ∫ dx/x = ln|x| + C, а не ln x.
• Деление на ноль при подстановке: Следите за областью определения функции и допустимостью подстановки.

Освоение неопределенных интегралов требует практики. Нет универсального «рецепта» для любого интеграла, но знание таблицы базовых интегралов, уверенное владение методами замены переменной и интегрирования по частям, а также умение работать с рациональными и тригонометрическими выражениями покрывают 95% задач стандартного курса математического анализа.

Рекомендуется решать как можно больше разнообразных задач, начиная с простых (приведение к таблице) и постепенно переходя к комбинированным задачам, требующим последовательного применения нескольких методов. Регулярная проверка ответов дифференцированием — лучший способ избежать ошибок и закрепить навык.

Данное пособие носит справочно-образовательный характер. Для углубленного изучения рекомендуется обращаться к учебникам по математическому анализу (например, Хинчин, Демидович, Зорич, Фихтенгольц) и сборникам задач.