Алгебра, это раздел математики, изучающий общие свойства действий над значениями разных природы и решение уравнений, связанных с этими действиями. Знание базовых формул является фундаментом для успешного решения задач любой сложности, от школьных уравнений до высшей математики и инженерных расчетов.

В данном пособии собраны самые востребованные алгебраические формулы, сгруппированные по темам для удобства запоминания и использования.

Формулы сокращенного умножения

Эти тождества позволяют быстро раскрывать скобки и приводить выражения к стандартному виду. Они справедливы для любых вещественных чисел a и b.

Квадрат суммы и разности

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a ⎯ b)² = a² ⎯ 2ab + b²

Разность квадратов

• a² ⏤ b² = (a ⏤ b)(a + b)

Куб суммы и разности

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a ⏤ b)³ = a³ ⏤ 3a²b + 3ab² ⏤ b³

Сумма и разность кубов

• a³ + b³ = (a + b)(a² ⏤ ab + b²)
• a³ ⏤ b³ = (a ⎯ b)(a² + ab + b²)

Формулы для четвертых степеней (дополнительно)

• a⁴ ⎯ b⁴ = (a² ⏤ b²)(a² + b²) = (a ⏤ b)(a + b)(a² + b²)
• a⁴ + 4b⁴ = (a² + 2b² ⏤ 2ab)(a² + 2b² + 2ab) (Разложение Софи Жермен)

---

Свойства степеней

Пусть a, b — основания степеней (a ≠ 0, b ≠ 0), а m, n — целые показатели степеней (для дробных степеней требуется a > 0, b > 0).

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
2. Деление степеней с одинаковым основанием: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (при m > n)
3. Возведение степени в степень: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
4. Возведение произведения в степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
5. Возведение частного в степень: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
6. Нулевая степень: a⁰ = 1 (a ≠ 0)
7. Отрицательная степень: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
8. Дробная степень: aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ

---

Свойства корней (арифметических)

Для арифметического корня четной степени подкоренное выражение и значение корня неотрицательны. Для нечетной степени, могут быть любыми вещественными числами.

• ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b (a ≥ 0, b ≥ 0 для четного n)
• ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (a ≥ 0, b > 0 для четного n)
• ⁿ√(aᵐ) = aᵐ/ⁿ
• ᵏ√(ⁿ√a) = ᵏⁿ√a
• ⁿ√a = a¹/ⁿ

Вынесение и введение множителя под знак корня

• Вынесение: ⁿ√(aⁿb) = a · ⁿ√b (a ≥ 0 для четного n)

---

Логарифмы: определение и свойства

Определение: Логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

logₐ(b) = c ⇔ aᶜ = b

Основные свойства логарифмов

• logₐ(1) = 0
• logₐ(a) = 1
• logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y)
• logₐ(x/y) = logₐ(x) ⏤ logₐ(y)
• logₐ(xⁿ) = n · logₐ(x)
• logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a) (Формула перехода к новому основанию)
• a^(logₐ(x)) = x
• logₐ(aˣ) = x

Десятичный и натуральный логарифмы

• lg(x) = log₁₀(x) — десятичный логарифм.
• ln(x) = logₑ(x) — натуральный логарифм (основание e ≈ 2.71828…).

---

Квадратные уравнения и неравенства

Общий вид

ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Дискриминант

D = b² ⏤ 4ac

Корни уравнения

• Если D > 0: два различных корня x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a
• Если D = 0: один корень x = -b / 2a
• Если D < 0: вещественных корней нет (два комплексных корня).

Теорема Виета

Для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0:

• x₁ + x₂ = -p
• x₁ · x₂ = q

Для общего вида ax² + bx + c = 0:

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ · x₂ = c/a

Разложение квадратного трехчлена на множители

ax² + bx + c = a(x ⏤ x₁)(x ⏤ x₂)

Решение квадратных неравенств

Метод интервалов (знаков):

1. Найти корни соответствующего уравнения.
2. Отметить их на числовой прямой (пустые кружки для строгих неравенств < >, закрашенные для нестрогих ≤ ≥).
3. Определить знак выражения на интервалах (знак коэффициента a справа, затем чередование при прохождении через корни нечетной кратности).
4. Выбрать интервалы, удовлетворяющие неравенству.

---

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая прогрессия

Последовательность, где каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом d (разность прогрессии).

• n-й член: aₙ = a₁ + d(n ⎯ 1)
• Сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 = (2a₁ + d(n ⏤ 1))n / 2
• Свойство: aₖ = (aₖ₋₁ + aₖ₊₁) / 2

Геометрическая прогрессия

Последовательность, где каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число q (знаменатель прогрессии).

• n-й член: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
• Сумма первых n членов (q ≠ 1): Sₙ = b₁(1 ⏤ qⁿ) / (1 ⏤ q)
• Сумма бесконечно убывающей прогрессии (|q| < 1): S = b₁ / (1 ⏤ q)
• Свойство: bₖ² = bₖ₋₁ · bₖ₊₁

---

Комбинаторика и бином Ньютона

Основные правила

• Правило суммы: Если объект можно выбрать m способами или k способами, то всего способов: m + k.
• Правило произведения: Если выбор состоит из двух этапов (сначала m способов, потом k способов), то всего способов: m · k.

Перестановки, размещения, сочетания

• Перестановки (Pₙ): Pₙ = n! (упорядоченные наборы из n элементов)
• Размещения (Aₙᵏ): Aₙᵏ = n! / (n ⎯ k)! (упорядоченные наборы из k элементов из n)
• Сочетания (Cₙᵏ): Cₙᵏ = n! / (k!(n ⏤ k)!) (неупорядоченные наборы из k элементов из n)
• Свойство симметрии: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ
• Свойство Паскаля: Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ

Бином Ньютона

Формула для разложения (a + b)ⁿ в сумму, где n — натуральное число:

(a + b)ⁿ = Cₙ⁰aⁿ + Cₙ¹aⁿ⁻¹b + Cₙ²aⁿ⁻²b² + … + Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ + … + Cₙⁿbⁿ

Коэффициенты Cₙᵏ называются биномиальными коэффициентами и образуют треугольник Паскаля.

---

Тригонометрические формулы (кратко)

Хотя это отдельный раздел, в алгебре часто требуются основные тождества:

Основное тригонометрическое тождество

• sin²α + cos²α = 1
• tgα = sinα / cosα
• ctgα = cosα / sinα
• tgα · ctgα = 1
• 1 + tg²α = 1 / cos²α
• 1 + ctg²α = 1 / sin²α

Формулы приведения аргумента

• sin(-α) = -sinα; cos(-α) = cosα
• sin(π/2 ⎯ α) = cosα; cos(π/2 ⏤ α) = sinα
• sin(π ⏤ α) = sinα; cos(π ⎯ α) = -cosα
• sin(π + α) = -sinα; cos(π + α) = -cosα
• sin(2π ⎯ α) = -sinα; cos(2π ⎯ α) = cosα

Формулы сложения аргументов

• sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
• cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
• tg(α ± β) = (tgα ± tgβ) / (1 ∓ tgα tgβ)

Формулы двойного аргумента

• sin2α = 2 sinα cosα
• cos2α = cos²α ⏤ sin²α = 2cos²α ⏤ 1 = 1 ⏤ 2sin²α
• tg2α = 2tgα / (1 ⏤ tg²α)

---

Советы по эффективному использованию формул

1. Понимайте вывод. Не учите формулы наизусть как заклинания. Проследите за их выводом один раз (например, (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ba+b² = a²+2ab+b²). Это поможет восстановить формулу, если вы её забудете на экзамене.
2. Ищите закономерности. Многие формулы парные (сумма/разность, синус/косинус). Запоминайте их парами.
3. Используйте «шпаргалки» правильно. Создайте свою таблицу формул от руки — моторика пальцев улучшает память. Пользуйтесь ей при решении ДЗ, но старайтесь со временем убрать её.
4. Практикуйтесь на типовых задачах. Решайте 5-10 задач на каждую формулу. Навык «узнавания» структуры выражения (например, увидеть разность квадратов в x⁴ ⏤ 16) приходит только с практикой.
5. Проверяйте размерность и частные случаи. Если формула содержит деление, всегда проверяйте условие «знаменатель не равен нулю». Подставляйте простые числа (0, 1, 2) для проверки правильности преобразований.

---