Понятие предела лежит в основе всего математического анализа, а значит — и дифференциального исчисления, и интегрирования, и исследования функций, описывающих связи экономических показателей. Среди множества пределов особую роль играют два так называемых замечательных предела. Они названы «замечательными» не случайно: с их помощью раскрываются неопределённости вида 0/0 и 1^∞, выводятся производные важнейших элементарных функций, а также решается знаменитая прикладная задача — задача о непрерывном начислении процентов, приведшая к открытию числа e.

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется предел:

lim (sin x / x) = 1, при x → 0

Для доказательства этой формулы рассматривают круг радиуса R с центром в точке O и сравнивают площади треугольника, кругового сектора и большего треугольника, образованных подвижным радиусом. Из двойного неравенства для площадей следует неравенство:

cos x < sin x / x < 1,

откуда по теореме о пределе промежуточной функции получаем искомый результат.

Следствия первого замечательного предела:

• lim (tg x / x) = 1 при x → 0;
• lim (arcsin x / x) = 1 при x → 0;
• lim (arctg x / x) = 1 при x → 0;
• lim ((1 − cos x) / x²) = 1/2 при x → 0.

Некоторые пределы можно свести к первому замечательному пределу путём замены переменной. Например, предел lim (sin 5x / x) при x → 0 решается заменой t = 5x и равен 5.

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности:

lim (1 + 1/n)ⁿ = e, при n → ∞

где e ≈ 2,718281828…, иррациональное число, называемое числом Эйлера (или неперовым числом).

Эквивалентная форма записи:

lim (1 + x)^1/x = e, при x → 0

Исторически эта формула появилась в результате решения конкретной задачи о начислении сложных процентов — именно поэтому её и назвали вторым замечательным пределом. К числу e приводят решения многих прикладных задач: роста населения, радиоактивного распада, охлаждения тел и, конечно, финансовых расчётов.

Важные следствия:

• lim (ln(1 + x) / x) = 1 при x → 0;
• lim ((e^x − 1) / x) = 1 при x → 0;
• lim ((a^x − 1) / x) = ln a при x → 0;
• lim ((1 + x)^α − 1) / x = α при x → 0.

Задача о непрерывном начислении процентов

Постановка задачи

Пусть первоначальный вклад в банк составляет Q₀ денежных единиц. Банк выплачивает p% годовых. Требуется найти размер вклада Q_t через t лет.

Если проценты начисляються один раз в год (простая схема сложных процентов), то через t лет сумма вклада составит:

Q_t = Q₀ · (1 + p/100)^t

Увеличение частоты начисления

Теперь будем полагать, что проценты начисляются чаще:

• каждое полугодие (n = 2);
• ежеквартально (n = 4);
• ежемесячно (n = 12);
• каждый день (n = 365);
• каждый час (n = 8760) и т. д.

Если в году производится n начислений, то за каждый период начисляется p/n процентов, и за t лет (то есть за nt периодов) размер вклада составит:

Q_t = Q₀ · (1 + p/(100n))^nt

Переход к пределу

Устремим теперь число периодов начисления n к бесконечности — это и означает непрерывное начисление процентов, то есть начисление в течение самого короткого из возможных промежутков времени. Сделаем замену x = 100n/p. Тогда при n → ∞ имеем x → ∞, и:

Q_t = lim_n→∞ Q₀ · (1 + 1/x)^x·pt/100

С учётом второго замечательного предела (e = lim (1 + 1/x)^x при x → ∞) получаем:

Q_t = Q₀ · e^pt/100

Эта формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста. Непрерывное начисление процентов позволяет получить максимальную норму доходности при данной объявленной ставке процента.

Экономический смысл и примеры

Увеличение частоты начисления процентов приводит к росту годового множителя наращения, который при непрерывном начислении достигает своего предельного значения e^p/100. Например, при ставке 30% годовых эффективная ставка с ростом частоты начисления растёт и в пределе достигает величины e^0,3 − 1 ≈ 34,986%.

Пример задачи. Первоначальная сумма вклада равна 7000 ден. ед., период начисления — 2 года, ставка — 12% годовых при непрерывном начислении. Тогда наращенная сумма:

Q = 7000 · e^0,12·2 = 7000 · e^0,24 ≈ 7000 · 1,2712 ≈ 8898,75 ден. ед.

Замечательные пределы — не просто абстрактный инструмент математического анализа. Второй замечательный предел возник из вполне практической финансовой задачи и породил число e — одну из фундаментальных констант математики. Формула непрерывного начисления процентов Q_t = Q₀·e^pt/100 широко применяется в финансовой математике, банковском деле и экономическом анализе, описывая экспоненциальный рост капитала и служа теоретическим пределом доходности любого вклада.